Een ligger van staal buigt door, hoe te berekenen?

Doorbuigingsberekening stalen ligger

Staal is een stevig en sterk materiaal waarmee bij relatief weinig doorsnede veel belasting kan worden afgedragen. Wordt een constructie gebruikt dan worden er eisen gesteld aan de mate van toelaatbare doorbuiging, zodat de gebruiker het prettig ervaart. Welke rekentechnische aspecten bepalen de stijfheid en hoe kun je de doorbuiging van de ligger bepalen?

Gebruikstoestand en stijfheid

Omdat de ligger wordt gebruikt binnen een gebouw dient het een gebruiksvriendelijk gevoel te geven. Dat houdt in dat het staal niet teveel mag doorbuigen oftewel de stijfheid moet aan bepaalde eisen voldoen. Op de ligger komen belastingen in de vorm van permanent aanwezige lasten en variabele bewegingslasten te staan. Door gebruik te maken van de representatieve belastingen (veiligheidsfactor = 1) kan de werkelijke vervorming bij een gegeven overspanning worden bepaald. Welke materiaalfactoren spelen daarbij een belangrijke rol?

Elasticiteit van het materiaal

De mate van vervormbaarheid van een materiaal is vastgelegd met de elasticiteitsmodulus. Dit komt primair tot uiting in de stelling van Hooke: ΔL = F*L / E*A. De toename van een belasting F op afstand L (spanningstoename) betekent dat er bij een gegeven oppervlak A en elasticiteit E een doorbuiging ΔL optreedt. Omdat de E, A voor een profiel vastliggen ontstaat er een rechtlijnige verhouding tussen ΔL en L bij een gegeven lengte. ΔL neemt rechtlijnig met de spanning toe tot de vloeigrens (σ = 235 N/mm²) van het materiaal is bereikt. De elasticiteit wordt uitgedrukt in E = 210.000 N/mm² voor standaard staal.

Wat is traagheidsmoment?

Liggers worden belast op een moment welke in de balk wordt ontbonden in een druk en trekkracht. Er is dus een inwendige driehoeksverdeling met uiterste spanningen in de uiterste staalvezels. Om in dat geval de mate van doorbuiging te kunnen bepalen dient in tegenstelling tot voorgaande A gebruik worden gemaakt van de I-waarde. De mate van stijfheid van een doorsnede wordt bepaald middels dat traagheidsmoment. Dit is de stijfheidscapaciteit van de vorm van de ligger. Eigenschap daarbij is dat als meer materiaal in de uiterste onder- en bovengrens ligt dan zal de balk relatief sterker zijn. Daarom worden stalen liggers toegepast in de L-staal, HEA, IPE en dergelijke doorsneden. Voor een rechthoekige doorsnede geldt dat I-waarde = 1/12*b*h³. Dit vormt de basis van de mate van tegenwerkende doorbuigingscapaciteit oftewel stijfheid en wordt in combinatie met voorgenoemde elasticiteit toegepast.

Doorbuigingseisen

Wordt een constructie gebruikt dan mag het niet voelbaar te veel doorbuigen. Dat betekent dat er eisen gesteld zijn aan de mate van doorbuiging uitgedrukt in de f-factor. Dit houdt de volgende relatie in: f = ΔL/L. Oftewel de mate van doorbuiging gedeeld door de lengte van de ligger. Aan die verhouding wordt het volgende aan eisen gesteld:

• constructies voor de opvang van het dak: f ≤ 0,004;
• constructies onder vloeren zonder dragende wanden op de vloer: f ≤ 0,003;
• constructies onder vloeren met dragende wanden op de vloer: f ≤ 0,002.

Voldoet de mate van vervorming aan deze eis dan merkt de gebruiker niet dat er sprake van vervorming is. De scherpere eis voor met dragende wanden op de vloer gestelde eis heeft te maken met dat de wand geen grote vervormingen mag opnemen omdat het belasting moet afdragen. De vloer moet daartoe meer stevigheid bieden.

Formule om te berekenen

Voorgaande onderdelen komen allemaal samen in een enkele formule. Daarmee wordt het benodigde traagheidsmoment bepaald of kan de doorbuiging worden gecheckt:

• traagheidsmoment = I;rep = 5*M;rep*L² / (48*E*ΔL) = 5*M;rep*L / (48*E*f);
• doorbuiging = ΔL = 5*M;rep*L² / (48*E*I;rep);
• M;rep = het representatief moment. Voor ligger op twee steunpunten en gelijkmatige verdeling is dat 1/8*q;rep*L².

Middels deze formule kan de doorbuiging van iedere ligger worden bepaald. Naast de I-waarde dient ook het weerstandsmoment te worden gecontroleerd. Dit is vastgelegd met: W;d = M;d/σ waarbij M;d het rekenmoment is.

Een voorbeeld staalberekening

Stel je voor er is sprake van een ligger op twee steunpunten met een belasting van 10 kN/m permanent en 4 kN/m variabel (geen dragende wanden op vloer). Wat voor type ligger kan bij een overspanning van 4,5 m worden toegepast?:

• M;rep = 1/8*(10+4)*4,5² = 10,13 kNm;
• M;d = 1/8*(10*1,2+4*1,5)*4,5² = 45,56 kNm;
• I;rep = 5*10,13*10⁶*4500 / (48*210.000*0,003) = 755 *10⁴ mm⁴;
• W;d = 45,56*10⁶ / 235 = 194 *10³ mm³.

Neem bijvoorbeeld een HEA160: I = 1673*10⁴ mm⁴ en W = 220 *10³ mm³. De werkelijke doorbuiging bij deze ligger bedraagt dan:

• ΔL = 5*10,13*10⁶*4500² / (48*210.000*1673*10⁴) = 6 mm

Hieruit volgt dan ook dat de W;d maatgevend is in het ontwerp en dus dient daarop eveneens te worden gecontroleerd. Let wel naarmate de ligger langer wordt neemt de doorbuigingsgevoeligheid toe waardoor de UC-waarde voor sterkte en stijfheid dichter bij elkaar komen te liggen.

Lees verder suggesties:

Een stalen ligger berekenen, hoe doe je dat?

De constructieve eigenschappen van staal

Elasticiteit, wat is dat?

Artikel partner:

Herkennen bestaande stalen HE ligger voor gewijzigde functie